ДИНАМИКА3. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ. ПОПУРРИ.

Посмотрим на примерах, как работает закон сохранения энергии.
Начнём с закона Архимеда.

Пусть кубик с ребром а, удельным весом Ro(1)  плавает в жидкости с удельным весом  Ro(2) и погружен в неё на глубину h. Кубик взят для простоты.
Напоминаю: d - просто малое изменение (греческих букв в редакторе нет)

Нажмём слегка на кубик и погрузим его еще на ма-ленькую величину dh. Раз состояние было равновес-ное, энергия системы не изменилась. Но мы уменьшили потенциальную энергию кубика на a^3*Ro(1)*dh (вес*перемещение; Ro это удельный вес, ро) и увеличили энергию жидкости - взяли объём из-под кубика и подняли на h. Это увеличение a^2*dh*Ro(2)*h (объем вытесненной*уд.вес*перемещение; считаем, что кубик плавает в море и вода распределилась по поверхности моря). Но энергия системы не изменилась! Значит a^3*Ro(1)*dh=a^2*dh*Ro(2)*h
Сократим dh, получим Ro(1)*a^3 – Ro(2)*h*a^2 =0 или вес вытесненной воды уравновесил силу тяжести. А это закон Архимеда для кубика.
Т.е. закон Архимеда - прямое следствие  поиска системой состояния с минимальной энергией.

МАЯТНИК

Отведём шарик на верёвочке на угол Фi от положения равновесия и отпустим. На шарик действует сила тя-жести и натяжение верёвки. Длина верёвки L никак не меняется, значит силы вдоль верёвки уравновешены. Fт=mg разложим на две составляющие, по верёвке и перпендикулярно верёвке. Последняя обеспечит движение шарика по дуге окружности с ускорением.

Дело осложняется тем, что сила/ускорение зависит от угла между верёвкой и вертикалью (движение точно не равнопеременное).
Ясно, что шарик, двигаясь от А к В будет терять высоту и набирать скорость. В точке В скорость максимальна, ускорение ноль, шарик по инерции проскакивает В и, замедляясь, (компонента mg направлена против скорости) двигается к левой крайней точке (в ней скорость ноль, высота максимальна), после чего начинает двигаться к А. Т.е. шарик всё время разменивает то кинетическую энергию на потенциальную, то потенциальную на кинетическую.
Вернёмся в точку А. Максимальная высота шарика
h=L – Lcos(Фi) = 2*L*[sin^2( Фi/2)] . Если Фi мало, то sin(Фi) ~ (Фi) и h=L*( Фi/2)^2] а потенциальная энергия в точке А: E(A) = mgh = m*g*L*[( Фi)^2]/2 равна кинетической в точке В: Е(B)= m*V^2/2 . Но (закон сохр энергии) E(A)=E(B) или V(B)= Фi*(g*L)^(1/2). Длина дуги АВ = S(AB)= Фi*L ; среднюю скорость примем половине максимальной <V>=[Фi*(g*L)^(1/2)]/2   ,а тогда время t(AB)=S(AB)/<V>=
= ( Фi*L)/([0,5*Фi*(g*L)^(1/2)] = 2*(L/g)^(1/2) , а период колебаний T=4*t(AB)=8*(L/g)^(1/2) .
На самом деле не «8», а 2*Пи, но от массы частота не зависит. «8» можно поправить, средняя скорость не половина максимальной, V линейно не по времени, а по углу. Из-за этого можно ввести поправку на 2^(1/3) и вместо 6,28 получить 6,35. Но главное: колебания есть, период (L/g)^(1/2) не зависит от массы; и это верно только при малых углах.

ЭНЕРГИЯ ПРУЖИНЫ
ЗАКОН ГУКА: изменение длины тела при растяжении (или сжатии) прямо пропорционально модулю силы упругости.
F=-k*(X-Xo)= - k*dX (Знак минус в формуле указывает на то, что пружина противодействует деформации: при растяжении стремится укоротиться, а при сжатии — распрямиться ).
Считаем работу по растяжению/сжатию пружины:
dA=F*dX = k*dX*dX =k*(dX)^2 = dE
Обратите внимание, в маятнике потенциальная энергия -квадрат угла; у пружинки — квадрат растяжения/сжатия. Но одинаковые уравнения приводят к одинаковым решениям. Повторив те же преобразования мы получим колебания пружинки с грузом T~(m/k)^0,5 .
На заметку. В случае, когда потенциальная энергия квадратична по координате (~X^2; (Фi)^2), говорят, что частица находится в параболической яме. Это полезное приближение. Оно сработает в L/C цепочке (только "координатой" там будет заряд конденсатора).  А ещё так можно построить модель твёрдого тела. Атомы расположены на расстоянии «а» (см. картинку).

Возбудим (дёрнем) за один атом — колебаться будут все. Теплового расширения из такой модели не получишь (ямы симметричные), но за теплоёмкость и звук побороться можно.

Итого, начав с кинематики материальной точки, мы дошли до модели твёрдого тела.
Хозяйке на заметку. Законов Ньютона вполне хватает для решеня задач по механике. Однако, законы сохранения берегут время и силы.

==============================================

Предыдущие серии:
yandex.ru/q/articl/reshenie_zadach_kinematika_d6ddeac6/
yandex.ru/q/science/12455383554/
yandex.ru/q/science/12468688642/
yandex.ru/q/science/12469716994/
И, если можно, прочитав оставляйте метки дизлайки, лайки, комментарии. Без обратной связи писать трудно и непонятно надо ли.