ГАУССА ТЕОРЕМА

ГАУССА ТЕОРЕМА (theorema egregium): гауссова кривизна (произведение главных кривизн) регулярной поверхности в евклидовом пространстве E³ не меняется при изгибаниях поверхности. (Здесь регулярность означает С³-гладкое погружение.) Г. т. следует из того, что гауссова кривизна K поверхности в точке (u, v) может быть выражена через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности

ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv²

и их первые и вторые производные в этой точке. Такое выражение для K наз. уравнением Гаусса, оно допускает разные формы записи (см., напр., [2]). Запись уравнения Гаусса упрощается при специализации координат. Так в изотермич. координатах (E = G = λ, F = 0):

в полугеодезич. координатах (E = 1, F = 0):

Уравнение Гаусса вместе с Петерсона - Кодацци уравнениями образуют условия интегрируемости системы, к к-рой сводится задача восстановления поверхности по ее первой и второй квадратичным формам. Из Г. Т. и Гаусса-Бонне теоремы следует, что отличие суммы углов геодезич. треугольника на регулярной поверхности от л равно ориентированной площади сферич. образа этого треугольника (см. [1]).

Г. т. установлена К. Гауссом (С. Gauss) в [1] и является первым и важнейшим результатом в исследовании связей между внутренней и внешней геометриями поверхностей.

Для регулярной m-мерной, 2 ≤ m ≤ n - 1, поверхности F^m в римановом пространстве Vⁿ справедливо следующее обобщение Г. т. (см. [3], с. 125; [4], с. 195):

(*)

где k(а, b), k̃(а, b) кривизны соответственно F^m и Vⁿ в двумерном направлении, определяемом касательными к F^m в рассматриваемой точке векторами a, b, а l_i -вторая квадратичная форма F^m относительно i-й нормали из ортонормированного набора нормалей в этой точке. Из (*) следует, что для гиперповерхности F^n-1 в Rⁿ все четные элементарные симметрические функции главных кривизн

K_2p = ∑ _i1<...<i2p k_i1 ... k_i2p,

2 ≤ 2р ≤ n-1, определяются внутренней метрикой F^n-1. В четномерном Е^2m, m > 1, гиперповерхность F^2m-1 однозначно определяется ее внутренней метрикой и кривизной Гаусса-Кронекера:

K = k₁ ⋅ ... ⋅ k_2m-1

при условии, что последняя отлична от нуля (см. [5], с. 288).

Для широких классов двумерных нерегулярных поверхностей в Е³ удается определить «внешнюю кривизну» как борелевскую меру, связанную со сферич. отображением, и «внутреннюю кривизну» как меру, связанную с отличием суммы углов треугольников от π. Обобщение Г. т. состоит в утверждении, что внешняя n внутренняя кривизны совпадают. Такое обобщение Г. т. получено для общих выпуклых поверхностей (см. [6]) и для С¹-гладких поверхностей ограниченной внешней кривизны (см. [7]).

Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с лат., в сб.: Об основаниях геометрии, М., 1956; [2] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [3] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [4] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [5] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [6] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [7] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969.

Ю. Д. Бураго.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.