Построение середины отрезка

Пример:

Построить середину данного отрезка.

Дано: отрезок АВ.

Построить: середину АВ.

Решение:

Строим с помощью линейки произвольный отрезок АВ.

Далее с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В.

Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точки Р и Q прямую РQ.

Точку пересечения прямой РQ и отрезка АВ обозначим О.

Докажем, что точка О - искомая точка, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

Рассмотрим треугольники РАQ и РВQ.

По построению АР = ВР, АQ = BQ (как радиусы одинаковых окружностей), PQ - общая, следовательно, РАQ =РВQ по 3 признаку равенства треугольников. Значит, по свойству равных треугольников АРО =ВРО, тогда РО - биссектриса АРВ.

В АРВ АР = ВР (как радиусы одинаковых окружностей), следовательно, АРВ - равнобедренный, тогда по свойству равнобедренного треугольника биссектриса РО АРВ и его медиана, следовательно, точка О - середина отрезка АВ. Что и требовалось доказать.