Модели геометрии Лобачевского

Конус и цилиндр — поверхности, на которых локально реализуется евклидова геометрия. Однако, разумеется, ни конус, ни цилиндр не являются целой евклидовой плоскостью. Как, имея в распоряжении лист бумаги (евклидову плоскость), построить цилиндр или конус?

Как уже было сказано, сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось симметрии, являются геодезическими, то есть прямыми. Обратите внимание: во-первых, псевдосфера бесконечна вверх. Во-вторых, она бесконечно сужается при движении вдоль оси симметрии. Это значит, что все прямые, о которых говорилось двумя строками выше, бесконечно сближаются (но не пересекаются), то есть параллельны. На псевдосфере, таким образом, есть целое семейство параллельных прямых.

Оказывается, что псевдосфера — аналог конуса, склеенного из евклидовой плоскости. Она получается из области, лежащей между двумя параллельными в смысле Лобачевского прямыми, склеиванием по этим прямым. Действительно, разрежем псевдосферу плоскостью, проходящей через ее ось симметрии. Тогда у каждой из полученных частей границами являются пары прямых, которые, как уже было отмечено в подсказке, параллельны. Если же сделать не два разреза, а один, то получится всего одна область, ограниченная двумя параллельными «лучами» Лобачевского a, b и кривой c, которая в трехмерном пространстве является окружностью. Эта область является разверткой псевдосферы; точно так же как сектор окружности в евклидовой плоскости — развертка конуса.

Рис. 3. На обоих рисунках серым цветом выделена одна и та же область плоскости Лобачевского. Слева она изображена в модели Пуанкаре, справа она вложена в трехмерное пространство. Область ограничена линиями a, b и c. a и b — лучи Лобачевского, перпендикулярные c, а c — отрезок орицикла. В модели Пуанкаре орицикл является окружностью, которая касается абсолюта

Из симметрии очевидно, что c перпендикулярна всему семейству параллельных прямых на псевдосфере. Кривая, обладающая таким свойством, носит в геометрии Лобачевского специальное название: орицикл. Чем же орицикл является в модели Пуанкаре? В евклидовой геометрии, разумеется, семейству параллельных прямых перпендикулярно другое семейство параллельных прямых. В геометрии Лобачевского это не так: кривая c, конечно, прямой не является. Впрочем, не составляет труда выяснить вид c в модели Пуанкаре. В этом помогает замечательный факт: евклидовы углы в модели Пуанкаре совпадают с углами плоскости Лобачевского. Поэтому задача сводится к следующей: найти кривую, перпендикулярную семейству касающихся друг друга в одной точке окружностей. У этой кривой нужно будет выбрать отрезок, равный по длине окружности основания псевдосферы.

Такой кривой является любая окружность, перпендикулярная общей касательной семейства и проходящая через точку касания. Отсюда немедленно следует, что эта окружность будет касаться абсолюта.

Таким образом, орицикл в модели Пуанкаре — любая окружность, касающаяся абсолюта, а развертка псевдосферы состоит из двух лучей и части орицикла. В некотором смысле это — «треугольник» с двумя прямыми углами. Следует подчеркнуть: пара «лучей» и отрезок могут быть выбраны произвольным образом, с условием, что лучи параллельны (в смысле Лобачевского) друг другу, перпендикулярны отрезку, а отрезок имеет заданную длину, а именно — 2π.

Интересно посмотреть, что будет, если отрезок c имеет длину, отличную от длины окружности в основании псевдосферы. В модели Пуанкаре это может соответствовать тому, что вместо b берется какая-нибудь другая прямая, параллельная а (например, одна из черных внутри серой области в левой части рис. 3).

Для понимания этого полезен тот факт, что плоскость Лобачевского однородна и изотропна. Из этого немедленно следует, что любую вырезанную часть псевдосферы можно, изгибая, свободно двигать по псевдосфере (возможно, с наложениями). Вырежем наш «прямоугольный треугольник» с конечным отрезком длины, меньшей 2π. Его можно двигать по псевдосфере вверх до тех пор, пока отрезок орицикла не сомкнется в окружность, а две границы не сольются. Таким образом, из такого треугольника получается псевдосфера, у которой отрезана нижняя часть.

Если же длина с больше 2π, то построить из такого треугольника фигуру вращения в евклидовом пространстве нельзя. Однако его можно разрезать на треугольники, у каждого из которых сторона будет меньше 2π, каждый из них разместить на псевдосфере и склеить между собой. Таким образом, треугольник будет «намотан» на псевдосферу. Наконец, саму псевдосферу можно склеить не из одного треугольника, а из нескольких (подумайте, как).

Кроме модели Пуанкаре и псевдосферы существуют и другие модели геометрии Лобачевского. Исторически первой появилась модель Клейна в круге. В ней прямыми называются не дуги окружностей, а хорды, а расстояние вычисляется по точно такой же формуле. Другая модель — тоже Пуанкаре, но в полуплоскости. Ее можно представлять себе как модель Пуанкаре, у которой радиус круга устремлен к бесконечности. Абсолют превращается в границу полуплоскости, прямые Лобачевского — в полуокружности, перпендикулярные абсолюту, либо в прямые, перпендикулярные абсолюту.

Попробуем взглянуть единым взглядом на все эти модели. Каждая модель состоит из нескольких обязательных «ингредиентов». Необходимо определить, во-первых, что такое сама плоскость Лобачевского. Это всегда некоторая двумерная поверхность, возможно вложенная в объемлющее пространство (как псевдосфера). Во-вторых — что такое прямые на этой плоскости Лобачевского. Это некоторые кривые на поверхности (мы каждый раз указывали, какие именно кривые принимаются за «прямые» в разных моделях). И, наконец, всегда должен быть какой-то способ определять расстояния на этой плоскости (так называемая метрика), причем так, чтобы прямая всегда была кратчайшим путем между двумя точками.

Нетрудно заметить, что эти «ингредиенты» немного избыточны в том смысле, что необходимо проверить, что прямая — действительно кратчайшее расстояние между двумя точками. Это вовсе не очевидно для формулы из условия:

Чтобы избавиться от этой избыточности, можно определять геометрию немного по-другому. А именно, будем задавать расстояния не между какими угодно двумя точками, а только между бесконечно близкими. После этого можно естественным образом определить длину кривой, разбив ее на малые части и просуммировав их длины (то есть взяв интеграл по кривой). Наконец, назовем отрезком прямой в этой геометрии линию, соединяющую две точки и имеющую кратчайшую длину.

Метрика полностью определяет внутренние свойства поверхности, в частности, насколько и каким образом эта поверхность искривлена. Таким образом, мы пришли к тому, с чего начали: геометрия Лобачевского — это геометрия искривленной поверхности, а именно — псевдосферы. А все модели геометрии Лобачевского — это разные системы координат, введенные на плоскости Лобачевского. Метрики моделей, разумеется, отличаются между собой, но при этом описывают одну и ту же геометрию.

Чтобы не быть голословными, выпишем явно метрики для евклидового пространства и геометрии Лобачевского. Начнем с модели Пуанкаре в верхней полуплоскости, потому что в ней сразу будут видны все особенности, характерные для искривленных поверхностей. Пусть две точки имеют координаты (x, y) и (x + dx, y + dy). Тогда квадрат расстояния между ними вычисляется по формуле

Для евклидовой плоскости вместо этого есть всем известная формула

которая есть не что иное, как теорема Пифагора.

Метрики для модели Клейна и Пуанкаре можно при желании посмотреть, например, в Википедии (см. Beltrami–Klein model и Poincaré disk model).

Еще более глубокое изучение вопроса приведет нас к такому понятию, как кривизна пространства. Не вдаваясь в подробности, обратим внимание лишь на то, что поверхность может быть искривлена в каждой точке двумя качественно различными способами. В одном случае поверхность напоминает часть эллипсоида, и кривизна считается положительной. В другом случае поверхность похожа на седло, и ее кривизна отрицательна. Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности). Это, кстати, проясняет происхождение названия «псевдосфера»: обычная сфера является поверхностью с постоянной положительной кривизной.

Рис. 4. Слева направо: поверхность отрицательной кривизны (однополостный гиперболоид), поверхность нулевой кривизны (цилиндр) и поверхность положительной кривизны (сфера). Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией. Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля.

ОТО подверглась многочисленным экспериментальным проверкам (см.: Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции, «Элементы», 25.11.2015), а поправки, связанные с ней, приходится учитывать для точной спутниковой навигации. Кроме того, ей описывается физика массивных объектов, таких как обычные и нейтронные звезды, сверхновые и черные дыры (список можно продолжать). Наконец, ОТО лежит в основе современной науки о Вселенной — космологии.

Согласно здравому смыслу, а также всем имеющимся наблюдательным данным, Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна. Это в любом случае означает, что она является пространством постоянной пространственной кривизны. В связи с этим с самых первых лет космологии рассматривались три возможности: плоская Вселенная, Вселенная положительной кривизны («сферическая Вселенная») и Вселенная отрицательной кривизны («Вселенная Лобачевского»). На данный момент, правда, считается, что кривизна Вселенной нулевая (в пределах современной точности измерений). Это находит объяснение в современной теории инфляции. Согласно последней, Вселенная в начальной стадии своей эволюции испытывала очень быстрое расширение и в результате увеличилась во много раз (это и называется инфляцией). Вполне возможно, что до инфляции Вселенная была сферической, «Вселенной Лобачевского» или имела какую-то другую сложную геометрию. Однако расширение привело к тому, что сейчас наблюдениям доступна лишь очень малая часть всей Вселенной, и ее геометрия должна быть неотличима от плоской.