Математики определили форму лужайки для кузнечика

Численное моделирование помогло найти такую форму двумерной лужайки, с которой кузнечику с наибольшей вероятностью не удастся выпрыгнуть за один прыжок. Решение задачи поможет при решении фундаментальных проблем квантовой физики, связанных с нарушением неравенств Белла, пишут авторы статьи в Proceedings of the Royal Society A.

Задача о прыгающем по двумерной лужайке кузнечике в упрощенном виде формулируется следующим образом. Кузнечика с известной длиной прыжка помещают в случайную точку лужайки фиксированной площади. При этом ставится вопрос, какой должна быть форма лужайки, чтобы после одного прыжка в произвольном направлении вероятность остаться на этой же лужайке была максимальной. Понятно, что если изначально кузнечика посадить близко к краю лужайки, он с большой вероятностью с нее выпрыгнет, поэтому даже для самого короткого прыжка и самой правильной формы лужайки вероятность остаться на ней меньше единицы, а при удлинении прыжка она еще сильнее понижается. Эта задача является не просто игрой ума, а имеет ряд приложений, например, в квантовой физике. Одним из них таких приложений является анализ неравенств Белла, которые связывают вероятность квантового состояния с наличием или отсутствием у квантовой системы скрытых параметров.

Ольга Гулько (Olga Goulko) из Массачусетского университета в Амхерсте и Адриан Кент (Adrian Kent) из Кембриджского университета рассмотрели эту задачу, расширив ее таким образом, что лужайка могла быть засеена неравномерно, но с такой же интегральной плотностью засева. Задачу ученые решали с помощью численного моделирования, при этом постановку задачи сменили с математической на физическую. Для этого они рассмотрели дискретную сетку, в узлы которой помещали квантовые частицы со спинами +1/2 или −1/2, расположенными случайным образом. На систему спинов накладывалось два условия: по общей сумме всех спинов (фиксированная площадь лужайки) и расстоянию, на котором двум спинам выгодно иметь одинаковый спин (фиксированная длина прыжка). После этого систему «охлаждали» до равновесного состояния. Конечный спин частицы соответствовал состоянию засеенности лужайки в данной точке. Поскольку система является квантовой, то вероятность того или иного значения спина отличается от единицы.

Первым контринтуитивным результатом оказалось то, что при любой ненулевой длине прыжка форма круга для лужайки не является оптимальной. Наиболее выгодная форма сильно зависит от длины прыжка и даже не всегда является радиально симметричной.

Оказалось, что для маленькой длины прыжка область имеет форму шестеренки, а число зубьев в такой шестеренке определяется длиной прыжка и примерно равно π(arcsin(πd/2))⁻¹, где d — длина прыжка. При удлинении прыжка в области появляются разрывы, и топологический переход происходит при длине прыжка π^−1/2. Для больших длин геометрия лужайки напоминает лопасти пропеллера, а для максимально длинных прыжков — состоит из отдельных полос.

По словам ученых, полученные ими решения по оптимальной форме лужайки для прыжков кузнечиков можно использовать и для практических приложений, в частности, для исследования каталитических реакций, закономерностей морфогенеза и квантовой теории информации. Кроме того, авторы работы предполагают, что с помощью моделирования оптимальных конфигураций лужаек, но на не на плоскости, а на поверхности сферы, можно определить точку расхождения квантовой и классической теории, определяемой нарушением неравенств Белла. Для этого в своей работе ученые обсудили возможность обобщения полученного решения на пространства больших размерностей и другие римановы многообразия.

В данной работе для определения наиболее выгодной конфигурации системы спинов авторы работы применяли метод Монте-Карло, но его использование эффективно не всегда. Иногда приходится прибегать и к более сложным симуляционным системам, основанным, например на системе взаимодействующих поляритонов.

Александр Дубов