Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

• в общей форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$;
• в канонической форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=-b$,

Изображение графиков двух функций с точкой пересечения, координаты которой при подстановке в каждое уравнение дадут одно и то же значение

где $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты $a_{1},\ldots ,a_{n}$ не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.

Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что $a_{1}\neq 0$). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.

Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.

Уравнение с одной переменной

Математическое описание

Уравнение имеет вид: $ax+b=0,$ его решение сводится к виду: $x=-{\frac {b}{a}}$ в общем случае, когда a ≠ 0. «Неизвестной» называется в данном случае переменная x. Если a = 0, то возможны два варианта. В случае, если b тоже равняется нулю, решений бесконечно много, поскольку любое число является решением. Но если b ≠ 0, то у уравнения не может быть корней, поскольку $\not \exists x\in \mathbb {R} :0\cdot x=-b\neq 0$. В последнем случае подобное уравнение является противоречивым (т.е. нельзя подобрать переменную, чтобы было верным равенство).

Примеры решения

Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.

$3\cdot x=24$

В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель $x$, результат умножения 24 нужно разделить на известный множитель 3. Результатом операции деления будет 8 как корень данного уравнения.

$x={\frac {24}{3}}=8$.

Линейное уравнение такого типа, как

$0\cdot x=7,$

не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида

$0\cdot x=0$

имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него $x$ может быть любым числом.

Уравнение с двумя переменными

Описание в общей и канонической формах

В случае, если в уравнении есть две переменные, линейное уравнение можно представить в общей форме: $ax+by+c=0$, где переменными являются величины x и y, а коэффициентами — a, b и c. В канонической формах это уравнение имеет вид $Ax+By=C,$ при A = a, B = b и C = –c.

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных $(x;y)$, которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество.

Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)

Пример

График функции для рассматриваемого уравнения $3\cdot x+4\cdot y=12$

Дано линейное уравнение:

$3\cdot x+4\cdot y=12$

Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью $y$ от $t$. В таком случае получится

$x=t$ и $y=(12-3\cdot t)/4$ при $t\in \mathbb {R}$

Так выводится график данной функции, включающий все пары x и y, обращающим уравнение в верное равенство:

$f(x)=(12-3\cdot x)/4=-(3/4)\cdot x+3$.

Линейная функция

В случае, если b ≠ 0, то уравнение $ax+by+c=0$ можно привести к такому виду, чтобы значение y зависело от x. Уравнение может быть представлено в таком случае в форме линейной функции $y=kx+m$, где $k=-{\frac {a}{b}};\ m=-{\frac {c}{b}}$ (или сразу $y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$). График функции в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа $y=kx+m$, где k — угловой коэффициент (он же $-{\frac {a}{b}}$), а m =$-{\frac {c}{b}}$ — координата точки пересечения графика с осью y.

В математическом анализе линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В линейной алгебре линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если c = 0, а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.

Геометрический смысл

Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида y = ax + b

Вертикальная линия уравнения x = a

Горизонтальная линия уравнения y = b

Графики линейных уравнений

Любая пара (x, y), являющаяся решением уравнения $ax+by+c=0$, может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что a и b не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.

В случае, если b ≠ 0, линия является графиком функции x, описанным выше. Если b = 0, то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат (y-оси), для уравнения $x=-{\frac {c}{a}},$, которое не является графиком функции x. Соответственно, если a ≠ 0, то линия является графиком функции y, а если a = 0 — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения $y=-{\frac {c}{b}}.$

Уравнение с тремя и более переменными

Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$. Коэффициент b, иногда обозначаемый как a₀, является свободным членом. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа a_i при условии i > 0. В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами $x,\;y$ и $z$.

Решение такого уравнения — такой n-кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при b ≠ 0) как не имеющее решений, либо же любой n-кортеж будет решением данного уравнения. Все n-кортежи, которые являются решением линейного уравнения с n переменными — это координаты точек в системе координат для (n − 1)-размерной гиперплоскости в n-размерном евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты — комплексные числа или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом Евклидовой геометрии).

Если в линейном уравнении a_j ≠ 0, тогда существует решение данного уравнения для x_j $x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$ Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется вещественнозначная функция для n вещественных переменных.

Пример

Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:

$3\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+x_{3}=7$

Решением данного уравнения будет являться плоскость, которой принадлежат три точки типа:

$x_{1}=t_{1},\;x_{2}=t_{2},\;x_{3}=7-3\cdot t_{1}-2\cdot t_{2}$ при $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$.

См. также

• Линейное уравнение над кольцом
• Алгебраическое уравнение
• Линейное неравенство

Литература

• R.A. Barnett, M.R. Ziegler, K.E. Byleen. College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences. — 11th. — Upper Saddle River, N.J.: Pearson, 2008. — ISBN 0-13-157225-3.
• Ron Larson, Robert Hostetler. Precalculus:A Concise Course. — Houghton Mifflin, 2007. — ISBN 978-0-618-62719-6.
• W.A. Wilson, J.I. Tracey. Analytic Geometry. — revised. — D.C. Heath, 1925.
• Manfred Leppig. Lernstufen Mathematik. — Girardet, 1981. — С. 61–74. — ISBN 3-7736-2005-5.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
• Helmuth Preckur. Lineare Algebra und Analytische Geometrie. — München: Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50), 1983. — С. 72–85, 106–114. — ISBN 3-580-64500-5.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4