Знак плюс-минус

Запрос «Плюс-минус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

∓

±

Знак плюс-минус (±) — математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Часто используется, например, для указания:

• пределов изменения каких-либо параметров;
• инструментальной точности измерения физической величины;
• ожидаемого разброса значений статистически измеренного параметра (стандартная ошибка);
• интервала значений результата в приближённых математических вычислениях.

Примеры

Пример 1:

• Фраза «напряжение в сети должно быть 220 ± 4,5 вольт» означает, что напряжение должно быть в диапазоне от 215,5 до 224,5 вольт.
• Фраза «погрешность хода этой модели часов составляет не более $\pm 2$ сек за сутки» означает, что ошибка часов, в ту или иную сторону, не превышает 2 сек за сутки.

Пример 2, где символ «плюс-минус» надо понимать буквально, как указание альтернативы из двух вариантов — известная формула для вычисления двух корней квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$:

$\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Эта формула — компактная запись, объединяющая формулы для первого и второго корня:

$\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Пример 3, аналогичный второму, тригонометрический:

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)$

Пример 4. Здесь истолкование символа плюс-минус иное: надо выбрать знак одночлена в зависимости от его номера в ряду:

$\sin \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\cdots$

История

Знак плюс-минус появился у Альбера Жирара (1626), который записывал этот символ следующим образом: ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}$ (французское слово ou в переводе означает «или»). Современный вид символу придал Уильям Отред в 1631 году.

Знак минус-плюс

У знака плюс-минус есть вариант: знак $\mp$ (минус-плюс). Он используется совместно с одним или несколькими знаками плюс-минус и означает, что знаку плюс в плюс-минусе строго соответствует знак минус в минус-плюсе, и обратно. Пример:

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

Это компактная запись двух формул:

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y;~\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

Иногда подобным образом используют другие знаки, например более-менее $\gtrless$: выражение

$a\gtrless b\mp \varepsilon$

означает два неравенства

$a\geqslant b-\varepsilon \quad$ и $\quad a\leqslant b+\varepsilon .$

Другие случаи употребления

В шахматной нотации символ ± означает, что после соответствующего хода преимущество имеют белые, а символ ∓ — что преимущество у чёрных.

Кодировка

Символ	Код в Юникоде	Название в Юникоде	Название	HTML шестн.	HTML десят.	HTML обозн.
$\pm$	U+00B1	Plus-minus sign	Символ плюс-минус	±	±	±
$\mp$	U+2213	Minus-or-Plus sign	Символ минус-плюс	∓	∓

• В ISO 8859-1 символ плюс-минус имеет код 0xB1.
• В TeX знаки плюс-минус и минус-плюс кодируются как \pm и \mp соответственно.
• В системе Microsoft Windows для ввода символа плюс-минус можно, прижав клавишу Alt, ввести на цифровой клавиатуре число 0177.
• В системах Linux/Unix сформировать символ плюс-минус можно последовательностью compose +- или одновременным нажатием клавиш ⇧ ShiftAltGr9.
• На компьютерах Макинтош плюс-минус кодируется вводом символов ⌥ Option ⇧ Shift = .
• В AutoCAD: %%p.

См. также

• Интервальная арифметика
• История математических обозначений
• Минус
• Плюс
• Таблица математических символов

Литература

• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
• Mazur J. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton: Princeton University Press, 2014. — 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3.