Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $f$ и $g$ обычно обозначается $g\circ f$, что обозначает применение функции $g$ к результату функции $f$, то есть $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Определение

Пусть $f$ функция из $A$ в $B$. Образ функции $f$ есть множество $f[C]=\{f(x)\,|\,x\in C\,\}$.

Пусть даны две функции $f\colon X\to Y$ и ${\textstyle g\colon f[X]\to Z}$, где $f[X]\subseteq Y$ — образ множества $X$. Тогда их композицией называется функция $g\circ f\colon X\to Z$, определённая равенством:

$(g\circ f)(x)=g(f(x)),\;x\in X$.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию $G$ вида

  $g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))$,

потому что она представляет собой функцию $f$, на вход которой подаются результаты функций $u$ и $v$.

Примеры композиций

• 

  Пример композиции двух функций

  Композиция функций на конечных множествах:

Пусть $f=\{\,(1,1),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}$ и $g=\{\,(1,2),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}$

тогда композиция $g\circ f=\{\,(1,2),\,(2,1),\,(3,2),\,(4,3)\,\}$

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

• Если $f=\mathrm {id} _{X}$ — тождественное отображение на $X$, то есть $\forall x\in X$:

  $f(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x$,

то $g\circ f=g$.

• Если $G=\mathrm {id} _{Y}$ — тождественное отображение на $Y$, то есть $\forall y\in Y$:

  $g(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y$,

то $g\circ f=f$.

• Композиция отображений $f\colon X\to X$, $g\colon X\to X$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $f\circ g\not =g\circ f$. Например, даны функции $f\colon x\mapsto x^{2}$, $g\colon x\mapsto 2x$ — тогда $g\circ f\colon x\mapsto 2x^{2}$, однако $f\circ g\colon x\mapsto 4x^{2}$.

Дополнительные свойства

• Пусть функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$, а функция $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ имеет в точке $b$ предел $\lim _{y\to b}g(y)$. Тогда, если существует проколотая окрестность точки $a$, пересечение которой с множеством $X$ отображается функцией $f\colon X\to Y$ в проколотую окрестность точки $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y)$.
• Если функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$, а функция $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ непрерывна в точке $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b)$.
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ — две функции, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in C(x_{0})$ и $g\in C(y_{0})$, где $C$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда $g\circ f\in C(x_{0})$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ и $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$. Тогда $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, и

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.