Решение Керра — Ньюмена

Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:

$ds^{2}=-\left(1-{2\,Mr-Q^{2} \over \Sigma }\right)\,dt^{2}-2(2\,Mr-Q^{2})a{\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\,dt\,d\varphi \,+$

$+\left(r^{2}+a^{2}+{(2\,Mr-Q^{2})a^{2}\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\right)\sin ^{2}\theta \,{d\varphi ^{2}}+{\Sigma \over \Delta }\,dr^{2}+{\Sigma \,{d\theta ^{2}}},$

где $\Sigma \equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$; $\Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$ и $a\equiv L/M$, где $L$ — момент импульса, нормированный на скорость света, а $Q$ — аналогично нормированный заряд.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: $r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}}}$, и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

$a^{2}+Q^{2}\leqslant M^{2}$ — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

Координаты Керра — Шильда

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ), в которой метрика имеет вид

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2Hk_{\mu }k_{\nu }$,

где $\eta _{\mu \nu }$ является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами $x=x^{\mu }(x)=(t,x,y,z)$.

В этой форме $k^{\mu }(x)$ является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку $k_{\mu }k^{\mu }=g_{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле $k^{\mu }(x)$ является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть $\eta _{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$ .

Функция H имеет вид

$H={\frac {Mr-|Q|^{2}/2}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }},$

где $r,\theta$ — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

$x+iy=(r+ia)e^{i\phi }\sin \theta ,\ z=r\cos \theta .$

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора $k_{\alpha }$ определяются из дифференциальной формы

$k_{\alpha }dx^{\alpha }=dr-dt-a\sin ^{2}\theta d\phi$

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата $\phi$ очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля $k^{\mu }(x)$, которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля $k_{\mu }$ определяются формой

$k_{\mu }dx^{\mu }=-dt+{\frac {z}{r}}dz+{\frac {r}{r^{2}+a^{2}}}(xdx+ydy)-{\frac {a}{r^{2}+a^{2}}}(xdy-ydx)$.

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

$u=(z-t)/{\sqrt {2}},\quad v=(z+t)/{\sqrt {2}},\quad \zeta =(x+iy)/{\sqrt {2}},\quad {\bar {\zeta }}=(x-iy)/{\sqrt {2}}$,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

$k_{\mu }^{(\pm )}dx^{\mu }=P^{-1}(du+{\bar {Y}}^{\pm }d\zeta +Y^{\pm }d{\bar {\zeta }}-Y^{\pm }{\bar {Y}}^{(\pm )}dv)$.

Это выражение определяется комплексной функцией $Y(x)$, которая имеет два решения $Y^{\pm }(x)$, что даёт для векторного поля $k^{\mu }(x)$ две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты $r$.

В координатах Керра $\theta ,\phi$ функция $Y(x)$ имеет вид

$Y(x)=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}$ .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами $\theta ,\phi$ на комплексную плоскость $Y$ , однако зависимость $x\to Y(x)$ очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция $P$ для покоящегося решения имеет вид

$P={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+Y{\bar {Y}})$.

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

$A^{\mu }=\Re e{\frac {Qr}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}k^{\mu }$.

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям $r=0$ и одновременно $\theta =0$. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, $r<0$, на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

Литература

• Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. — Мир, 1977. — Т. 3. — 512 с.
• Субраманьян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. В 2-х томах = Mathematical theory of black holes / Перевод с английского к. ф.-м. н. В. А. Березина. Под ред. д. ф.-м. н. Д. А. Гальцова. — М.: Мир, 1986.
• И. Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр. — М.: Наука, 1986. — 328 с.