Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением $n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=b$), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть $\mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку $\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{k}$, имеет вид

$\langle \mathbf {n} ;\mathbf {x} \rangle =\langle \mathbf {n} ;\mathbf {X} \rangle$

Здесь $\langle \bullet ;\bullet \rangle$ — скалярное произведение в пространстве $\mathbb {R} ^{k}$. В частном случае уравнение принимает вид

$n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{k}x_{k}=d=n_{1}X_{1}+n_{2}X_{2}+\ldots +n_{k}X_{k}$

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть $\mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки $\mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{k}$ до этой гиперплоскости задаётся формулой

$\rho ={\frac {|\langle \mathbf {r} -\mathbf {R} ;\mathbf {n} \rangle |}{|\mathbf {n} |}}$

где $\mathbf {R}$ — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность