С точки зрения физики вообще бессмысленно их разделять. Энергия проявляет себя полностью как масса, например обладает инерцией и гравитационным притяжением. Например есть протон, который состоит из трех кварков, массы которых в сумме (12 МэВ) гораздо легче массы самого протона (939 МэВ). Если Вы заметили, даже массы частиц измеряют в электронвольтах, энергетических единицах, в нормальные единицы их переводят с помощью формулы E=mc^2.
Так вот, большая часть массы протона получается из сильного взаимодействия, это и есть энергия взаимодействия, частица с такой энергией весит больше. Просто если у тела есть энергия, то разогнать это тело сложнее так же как сложнее разогнать тяжелый грузовик по сравнению с легковым автомобилем. (Такое свойство и называется инерционной массой и видно из 2 закона Ньютона F=ma, ускорение тела будет тем меньше, чем больше масса, если сила одинакова). Наверное, правильнее всего было бы сказать что энергия имеет массу, а масса соответствует какой-то энергии.
С точки зрения физики это две стороны одной монеты. Два разных свойства одного и того же физического явления. Все равно как импульс и скорость. Скорость - это как быстро меняется координата частицы со временем, а импульс - как много "количества движения" частица содержит, как сильно оно толкнет что-то, когда врежется. Но по сути импульс p=m*v намертво связанная со скоростью величина, просто два разных свойства движения. Так и масса - это как сложно тело ускорить или как сильно оно притягивает гравитационно. А энергия - мера взаимодействия и перехода одной "активности" в другую. Сколько движения или с какой частотой излучение частица при распаде или взаимодействии может произвести. Сколько внешнего усилия нужно затратить чтобы создать ее из чего-то еще. Глубинная природа одна и та же.
Что касается того зависит ли масса от скорости, все зависит от того как определить массу. В настоящий момент массу (инвариантную массу) определяют так что она НЕ ЗАВИСИТ от скорости. Это физики решили довольно давно, это гораздо удобнее и физически более осмысленно. Я могу объяснить откуда люди берут зависимость m/√(1-v^2/c^2) и почему так делать плохо, но думаю, что целесообразнее выделить это в отдельный вопрос, если интересно. Кину ссылку на статью Л.Б. Окуня в УФН http://nuclphys.sinp.msu.ru/UFN/r0012g.pdf
PS Упс, не заметил, что это уже обсуждается в комментариях к предыдущему ответу. Там есть еще одна ссылка на того же Окуня.
Нет, нельзя, потому что масса материи зависит от скорости движения этой самой материи. Поэтому следует оставить первоначальную формулировку - "энергия превращается в массу, а масса - в энергию"