Модель "резиновой простыни", демонстрирующая искривление пространства массивными объектами - это один из способов наглядного описания гравитационного поля. Дело в том, что понятие физического поля достаточно трудно для понимания и представления, особенно если речь идет не о плоскости, а о трехмерном пространстве и особенно если это поле неоднородно. "Резиновая" аналогия дает простой и интуитивно понятный заменитель сложным математическим описаниям.
Для описания поля используют математические модели скалярного, векторного и тензорного поля. Наличие поля в пространстве и его влияние на объекты можно описать двумя способами:
1) Есть линейное, однородное и изотропное пространство + есть силовое поле. В этом варианте объект (например, планета), на который не действуют силы (т.е. он не находится силовом поле) движется прямолинейно и равномерно. Геодезическая линия (что-то типа траектории "по умолчанию") в таком пространстве - прямая. Появление, например, гравитационного поля смещает объект с геодезической линии и заставляет его двигаться по другой траектории, например, по эллипсу. Если полей много, то каждое "тянет" объект в свою сторону и получается довольно сложная для описания и понимания динамическая модель.
2) Силовых полей нет, а есть лишь нелинейное и неоднородное пространство, в самой структуре которого уже заложено влияние тех самых полей. Геодезические линии в таком пространстве - кривые и объект, на который не действуют силы, движется по этим криволинейным траекториям. Появление новых объектов "искривляет" пространство и изменяет форму геодезических линий, из-за чего объекты меняют свои траектории. Именно такой подход к описанию и представлен на картинке к вашему вопросу.
Поэтому, отвечая на вопрос можно сказать, что да, планеты таки "прогибают пространство".