Иржи Матоушек. Тридцать три миниатюры. Применения линейной алгебры в математике и информатике

В математическом научпопе есть такой жанр — собирание жемчужин. Это не систематическое изложение какой-то темы или курса, а короткие, яркие эссе. Чтобы такую книгу читать, надо уже обладать определенным уровнем, тогда и можно получать удовольствие от отдельных, не сильно связанных между собой фактов.

Книга Иржи Матоушека «Тридцать три миниатюры» — самая настоящая коллекция жемчуга. Подзаголовок к книге точнее объясняет содержание: «Применение линейной алгебры в математике и информатике». Применяется линейная алгебра математически — для доказательств фактов или построения алгоритмов.

Иржи Матоушек — чешский профессор математики, свою коллекцию жемчуга он собирал много лет, и в результате получилась книжка. В ней собраны 33 небольших сюжета, в каждом формулируется какой-нибудь результат, обычно с мотивировкой и предысторией, а потом дается доказательство этого факта с применением линейной алгебры. Так что для чтения линейную алгебру надо знать хотя бы худо-бедно, не бояться матриц и векторов. Пригодится еще знакомство с теорией графов и комбинаторикой.

Миниатюры действительно миниатюрны, в основном занимают 2-4 страницы. Это означает, что постановки задач довольно простые, понять их будет несложно. Но простых решений не ждите, в каждой задаче есть какой-нибудь подвох, который успешно разрешается применением методов линейной алгебры.

Например, миниатюра о равноугольных прямых. Представьте себе в пространстве несколько прямых, пересекающихся в одной точке так, что все углы между ними равны. Как они могут быть расположены? Первое, что обычно приходит в голову — три взаимно перпендикулярные оси координат. Угол между любыми двумя — прямой. Но равноугольных прямых может быть больше.

Вот на рисунке четыре главные диагонали куба, углы между любыми двумя равны. Как в пространстве расположить больше равноугольных прямых? Эту задачку мы так и не решили в сообществе Незадача Кью. Ну а в своей книге Матоушек рассматривает задачку потруднее — он строит оценку сверху на количество равноугольных прямых в пространстве произвольной размерности. Для нашей родной размерности ему удалось получить точную оценку (не 4), а для более высоких оказывается всё сложно. Так что за три страницы автор проходит с нами путь от задачки, постановка которой понятна школьнику, до задачи, до конца ещё никем не решённой.

Это вообще сильная черта автора. Ему частенько удается дать задачку в простейшей занимательной формулировке, доступной неспециалисту, и быстро показать, как незамысловатый на первый взгляд вопрос быстро дорастает до нерешенной задачи.

Среди прочего Матоушек рассказывает о кодах Хэмминга, ёмкости Шеннона, гипотезе Борсука, о раскрасках и замощениях.

Книжка только что из типографии, краска ещё тёпленькая и не просохла, скачать на просторах интернета не получится. На сайте издательства можно скачать ознакомительный фрагмент.