Математика для красноармейцев пост 6: Внешние дифференциальные формы

Продолжаю серию, почему-то только пост №3 получил более 600 просмотров, там на обложке есть Слова «голые девушки».

Но у меня есть два адепта. Они очень мотивированы к пониманию науки, но не имеют профессиональной подготовки. Для них и буду писать пока меня не выгонят с кью за графоманство.

Сегодняшний пост трудный, но он уже подводит к некоторому «сакральному« знанию которого нет в книжках без формул,

Начнем

Метрический тензор симметричен: , иначе длина лома будет зависеть от его ориентации в касательном пространстве. Другой важный симметричный тензор встретится дальше это тензор энергии импульса. Здесь рассмотрим кососимметричные тензоры.

Для дальнейшего понимания приведу удачную метафору заимствованную из знаменитого трёхтомника «Гравитация» Уиллера, Торна, Мизнера. Тензор это машина (механизм, станок) в который подают вектора, а на выходе получают результат например число или новый вектор. Метрический тензор получив вектор выдаёт число его длину.

Внешняя форма степени k, работающая в векторном пространстве произвольной размерности ( мы держим в уме касательное пространство к какому либо многообразию) определяется так:

Внешние формы могут давать не только число, но подействовав на вектор другой нужный в хозяйстве вектор .

Вот интересный и важный в дальнейшем в математике ОТО) пример возникновения 2-формы на ровном месте ( то есть мы и не думали ее вводить ).

В многообразии, точки которого представляют положения твёрдого тела вращающегося с одной фиксированной точкой, форма A действуя на радиус вектор любой точки даёт ее линейную скорость, Всякий кососимметрический оператор A в трех.мерном и только в трехмерном евклидовом пространстве есть оператор векторного умножения на фиксированный вектор: